一，选择题（每题 $2$ 分，共计 $30 分）

1. 在 Linux 系统终端中，以下哪个命令用于创建一个新的目录？ {{ select(1) }}

• newdir
• mkdir
• create
• mkfold

2. $0,1,2,3,4$ 中选取 $4$ 个数字，能组成（）个不同四位数（注：最小的四位数是 $1000$ 最大的四位数是 $9999$）。 {{ select(2) }}

• $96$
• $18$
• $120$
• $84$

3. 假设 $n$ 是图的点数，$m$ 是图的边数，求解某一问题有以下四种复杂度，对于一个稀疏图而言，下列哪个复杂度最小。

{{ select(3) }}

• $O(m\sqrt{\log{n}}*\log\log{n})$
• $O(n^2+m)$
• $O(\frac{n^2}{\log{m}}+m\log{n})$
• $O(m+n\log{n})$

4. 假设有 $n$ 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为 $1,2,3,⋯$ 的圆环：每根柱子的底 部固定，顶部可以放入圆环；每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有 $4$ 根柱子时，最多可以放置（）个圆环

{{ select(4) }}

• $7$
• $9$
• $11$
• $5$

5. 以下对数据结构的表述不恰当的一项是：

{{ select(5) }}

• 队列是一种先进先出（FIFO）的线性结构
• 哈夫曼树的构造过程主要是为了实现图的深度优先搜索
• 散列表是一种通过散列函数将关键字映射到存储位置的数据结构
• 二叉树是一种每个结点最多有两个子结点的树结构

6. 以下连通无向图中，（）一定可以用不超过两种颜色进行染色。 {{ select(6) }}

• 完全三叉树
• 平面图
• 边双连通图
• 欧拉图

7. 序列 ABCAAAABA 和 ABABCBABA 的最长公共子序列长度为（）。 {{ select(7) }}

• $4$
• $5$
• $6$
• $7$

8. 一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 $x$ 点，得到 $2x$ 元；第二次掷出 $y$ 点，当 $y=x$ 时玩家会失去之前得到的 $2x$ 元而当 $y≠x$ 时玩家能保住第一次获得的 $2x$ 元。上述 $x,y∈1,2,3,4,5,6$。 例如：玩家第 一次掷出 $3$ 点得到 $6$ 元后，但第二次再次掷出 $3$ 点，会失去之前得到的 $6$ 元，玩家最终收益为 $0$ 元；如果玩家第一次掷出 $3$ 点、第二次掷出 $4$ 点，则最终收益是 $6$ 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 $16$，玩家连续掷两次般子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？ {{ select(8) }}

• $7$ 元
• $\frac{35}{6}$ 元
• $\frac{16}{3}$ 元
• $\frac{19}{3}$ 元

9. 假设我们有以下的 C++ 代码：

int a = 5, b = 3, c = 4;
bool res = a & b || c ^ b && a | c;

请问 res 的值是什么，在 C++ 中，逻辑运算符的优先级顺序为 !，&&，||，位运算的优先级从高到低为 ~，&，^，|，且位运算优先级高于逻辑运算

{{ select(9) }}

• true
• false
• 1
• 0

10. 假设快速排序算法的输入是一个长度为n 的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第一个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为? {{ select(10) }}

• 快速排序对于此类输入的表现最好，因为数组已经排序。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $O(n\log{n})$
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 $O(n^2)$
• 快速排序无法对此类数组进行排序，因为数组已经排序。

11. 以下哪个命令，能将一个名为 main.cpp 的 C++ 源文件，编译并生成一个名为 main 的可执行文件？（） {{ select(11) }}

• g++ -o main main.cpp
• g++ -o main.cpp main
• g++ main -o main.cpp
• g++ main.cpp -o main.cpp

12. 在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？

{{ select(12) }}

• $4$ 个结点的树
• $6$ 个结点的树
• $7$ 个结点的树
• $8$ 个结点的树

13. 如图是一张包含 $6$ 个顶点的有向图，但顶点间不存在拓扑序。如果要删除其中一条边，使这 $6$ 个顶点能进行拓扑排序，请问总共有多少条边可以作为候选的被删除边？（）

    {{ select(13) }}

• $1$
• $2$
• $3$
• $4$

14. 若 $n=\sum_{k=0}^k 16^i\times x_i$，定义 $f(n)=\sum_{k=0}^k x_i$，其中 $x_i\in [0,15]$。对于给定自然数 $n_0$，存在序列 $n_0,n_1,n_2,\cdots,n_m$，其中对于 $1\leq i\leq m$ 都有 $n_i=f(n_{i-1})$，且 $n_m=n_{m-1}$，称 $n_m$ 为 $n_0$ 关于 $f$ 的不动点，问在 $100_{16}$ 到 $1A0_{16}$ 中，关于 $f$ 的不动点为 $9$ 的自然数个数为？ {{ select(14) }}

• $10$
• $11$
• $12$
• $13$

15. 以下代码计算 $x^n$ 的时间复杂度为（）

double quick_power(double x, unsigned n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;
    return quick_power(x, n / 2)
        * quick_power(x, n / 2)
        * ((n & 1) ? x : 1);
}

{{ select(15) }}

• $O(n)$
• $O(1)$
• $O(\log{n})$
• $O(n\log{n})$

二，阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确选 T ，错误选 F；除特殊说明外，判断题每题 $1.5$ 分，选择题 $3$ 分，共计 $40$ 分）

(1)

#include <iostream>
using namespace std;
unsigned short f(unsigned short x) {
    x ^= x << 6;
    x ^= x >> 8;
    return x;
}
int main() {
    unsigned short x;
    cin >> x;
    unsigned short y = f(x);
    cout << y << endl;
    return 0;
}

假设输入的 $x$ 是不超过 $65535$ 的自然数。

16. 当输入非零时，输出一定不为零。（） {{ select(16) }}

• T
• F

17. （2 分）将 f 函数的输入参数的类型改为 unsigned int，程序的输出不变。（） {{ select(17) }}

• T
• F

18. 当输入为 65535 时，输出为 63。（） {{ select(18) }}

• T
• F

19. 当输入为 1 时，输出为 64。（） {{ select(19) }}

• “6.0000”
• “12.0000”
• “24.0000”
• “30.0000”

20. 当输入为 512 时，输出为（）。 {{ select(20) }}

• $33280$
• $33410$
• $33106$
• $33346$

21. 当输入为 64 时，执行完第 55 行后 x 的值为（）。

{{ select(21) }}

• $8256$
• $4130$
• $4128$
• $4160$

(2)

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long solve1(int n) {
    vector<bool> p(n + 1, true);
    vector<long long> f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            vector<int> d;
            for (int k = i; k <= n; k *= i)
                d.push_back(k);
            reverse(d.begin(), d.end());
            for (int k : d) {
                for (int j = k; j <= n; j += k) {
                    if (p[j]) {
                        p[j] = false;
                        f[j] = i;
                        g[j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            f[i] = i;
            g[i] = i;
        }
    }
    long long sum = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
        sum += f[i];
    }
    return sum;
}

long long solve2(int n) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i * (n / i);
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve1(n) << endl;
    cout << solve2(n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的 $n$ 是不超过 $1000000$ 的自然数

22. 将第 $15$ 行删去，输出不变。（） {{ select(22) }}

• T
• F

23. 当输入为 10 时，输出的第一行大于第二行。（ {{ select(23) }}

• T
• F

24. (2 分） 当输入为 1000 时，输出的第一行与第二行相等。（） {{ select(24) }}

• T
• F

25. solve1(n) 的时间复杂度为（）。 {{ select(25) }}

• $O(n\log^2{n})$
• $O(n)$
• $O(n\log{n})$
• $O(n\log\log{n})$

26. solve2(n) 的时间复杂度为（）。 {{ select(26) }}

• $O(n^2)$
• $O(n)$
• $O(n\log{n})$
• $O(n\sqrt{n})$

27. 当输入为 5 时，输出的第二行为（）。 {{ select(27) }}

• $20$
• $21$
• $22$
• $23$

(3)

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

bool f0(vector<int> &a, int m, int k) {
    int s = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
        while (a[i] - a[j] > m)
            j++;
        s += i - j;
    }
    return s >= k;
}

int f(vector<int> &a, int k) {
    sort(a.begin(), a.end());

    int g = 0;
    int h = a.back() - a[0];
    while (g < h) {
        int m = g + (h - g) / 2;
        if (f0(a, m, k)) {
            h = m;
        }
        else {
            g = m + 1;
        }
    }

    return g;
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cout << f(a, k) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法，且 $1\leq a_i\leq 10^8,n\leq 10^4,1\leq k\leq \frac{n(n-1)}{2}$

28. 将第 $24$ 行的 m 改为 m - 1，输出有可能不变，而剩下情况为少 $1$。（） {{ select(28) }}

• T
• F

29. 将第 $22$ 行的 g + (h - g) / 2 改为 (h + g) >> 1，输出不变。（） {{ select(29) }}

• T
• F

30. 当输入为 5 7 2 -4 5 1 -3，输出为 5。（） {{ select(30) }}

• T
• F

31. 设 $a$ 数组中最大值减最小值加 $1$ 为 $A$，则 f 函数的时间复杂度为（）。 {{ select(31) }}

• $O(n\log{A})$
• $O(n^2\log{A})$
• $O(n\log{nA})$
• $O(n\log{n})$

32. 将第 $10$ 行中的 > 替换为 >=，那么原输出与现输出的大小关系为（）。 {{ select(32) }}

• 一定小于
• 一定小于等于且不一定小于
• 一定大于等于且不一定大于
• 以上三种情况都不对

33. 当输入为 5 8 2 -5 3 8 -12，输出为（）。 {{ select(33) }}

• $13$
• $14$
• $8$
• $15$

三，完善程序（单选题，每小题 3 分）

(1)

（第 $k$ 小路径）给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向无环图，定点编号从 $0$ 到 $n−1$，对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第 $k$ 小的路径。保证存在至少 $k$ 条路径。上述参数满足 $1≤n,m≤10^5,1≤k≤10^{18}$。

在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过 $10^{18}$ 的数都用 $10^{18}$ 表示。然后我们根据 $k$ 的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;
const long long LIM = 1000000000000000000ll;

int n, m, deg[MAXN];
std::vector<int> E[MAXN];
long long k, f[MAXN];

int next(std::vector<int> cand, long long &k) {
    std::sort(cand.begin(), cand.end());
    for (int u : cand) {
        if (①) return u;
        k -= f[u];
    }
    return -1;
}

int main() {
    std::cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v; // 一条从u到v的边
        E[u].push_back(v);
        ++deg[v];
    }
    std::vector<int> Q;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!deg[i]) Q.push_back(i);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = Q[i];
        for (int v : E[u]) {
            if (②)
                Q.push_back(v);
            --deg[v];
        }
    }
    std::reverse(Q.begin(), Q.end());
    for (int u : Q) {
        f[u] = 1;
        for (int v : E[u])
            f[u] = ③;
    }
    int u = next(Q, k);
    std::cout << u << std::endl;
    while (④) {
        ⑤;
        u = next(E[u], k);
        std::cout << u << std::endl;
    }
    return 0;
}

34. ①处应填（） {{ select(34) }}

• k >= f[u]
• k <= f[u]
• k > f[u]
• k < f[u]

35. ②处应填（） {{ select(35) }}

• deg[v] == 1
• deg[v] == 0
• deg[v] > 1
• deg[v] > 0

36. ③处应填（）{{ select(36) }}

• std::min(f[u] + f[v], LIM)
• std::min(f[u] + f[v] + 1, LIM)
• std::min(f[u] * f[v], LIM)
• std::min(f[u] * (f[v] + 1), LIM)

37. ④处应填（） {{ select(37) }}

• u != -1
• !E[u].empty()
• k > 0
• k > 1

38. ⑤处应填（） {{ select(38) }}

• k+=f[u]
• k-=f[u]
• --k
• ++k

(2)

（最大值之和）给定整数序列 $a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 $1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^8$。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 $l,r,0\leq l<r<n$表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_{r}$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 $[1,2,1,2]$ 时，要计算子序列 $[1],[2],[1],[2],[1,2],[2,1],[1,2],[1,2,1],[2,1,2],[1,2,1,2]$ 的最大值之和，答案为 $18$。注意 $[1,1]$ 和 $[2,2]$ 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n\log{n})$。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - l, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

39. ①处应填（） {{ select(39) }}

• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1]) -pre[i + 1] = std::max(pre[i],pre[i + 1])
• pre[i] = std::max(pre[i -1], a[i])
• pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

40. ②处应填（） {{ select(40) }}

• a[j] < max
• a[j] < a[i]
• pre[j - mid] < max
• pre[j - mid] > max

41. ③处应填（） {{ select(41) }}

• (long long)(j - mid) * max
• (long long)(j - mid) * (i - 1) * max
• sum[j - mid]
• sum[j - mid] * (i - 1)

42. ④处应填（） {{ select(42) }}

• (long long)(r - j) * max
• (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• sum[r - mid] - sum[j - mid]
• (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

43. ⑤处应填（） {{ select(43) }}

• solve(0, n)
• solve(0, n - 1)
• solve(1, n)
• solve(1, n - 1)