1. 关于单链表、双链表和循环链表，下列说法正确的是（）。

{{ select(1) }}

• 在单链表中，若已知任意结点的指针，则可以在 $O(1)$ 时间内删除该结点。
• 循环链表中一定不存在空指针。
• 在循环双链表中，尾结点的 next 指针一定为 nullptr。
• 在带头结点的循环单链表中，判定链表是否为空只需判断头结点的 next 是否指向自身。

2. 双向循环链表中要在结点 $p$ 之前插入新结点 $s$（均非空），以下指针操作正确的是（）。

{{ select(2) }}

•  s->next = p;
   p->prev = s;
   p->next = s;
   s->prev = p;
  

•  s->prev = p;
   s->next = p->next;
   p->next->prev = s;
   p->next = s;
  

•  s->next = p;
   s->prev = p->prev;
   p->prev->next = s;
   p->prev = s;
  

•  s->next = p;
   s->prev = nullptr;
   p->prev = s;
  

3. 下面函数用"哑结点"统一处理删除单向链表中的头结点与中间结点。横线处应填（）。

struct Node{
    int val;
    Node* next;
    Node(int v):val(v),next(nullptr){}
};
Node* eraseAll(Node* head, int x){
    Node dummy(0);
    dummy.next = head;
    Node* cur = &dummy;
    while(cur->next){
        if(cur->next->val == x){
            Node* del = cur->next;
            ______
            delete del;
        }else cur = cur->next;
    }
    return dummy.next;
}

{{ select(3) }}

•  cur = cur->next;
  

•  cur->next = del->next;
  

•  del->next = cur->next;
  

•  cur->next = nullptr;
  

4. 对如下代码实现的欧几里得算法（辗转相除法），执行 $\gcd(48, 18)$ 得到的调用序列为（）。

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

{{ select(4) }}

•  gcd(48, 18) -> gcd(18, 12) -> gcd(12, 6) -> gcd(6, 0)
  

•  gcd(48, 18) -> gcd(30, 18) -> gcd(12, 18)
  

•  gcd(48, 18) -> gcd(18, 30) -> gcd(30, 6)
  

•  gcd(48, 18) -> gcd(12, 18) -> gcd(6, 12)
  

5. 下面代码实现了欧拉（线性）筛，横线处应填写（）。

vector<int> euler_sieve(int n) {
    vector<bool> is_composite(n + 1, false);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_composite[i])
            primes.push_back(i);
        for (int j = 0; ______ && (long long)i * primes[j] <= n; j++) {
            is_composite[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
    return primes;
}

{{ select(5) }}

•  j <= n
  

•  j < sqrt(n)
  

•  j < primes.size()
  

•  j < i
  

6. 埃氏筛中将内层循环从 $j=i * i$ 开始而不是 $j=2 * i$ 的主要原因是（）。

vector<int> eratosthenes_sieve(int n) {
    vector<bool> is_composite(n + 1, false);
    vector<int> primes;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_composite[i]) continue;
        primes.push_back(i);
        for (long long j = (long long)i * i; j <= n; j += i)
            is_composite[j] = true;
    }
    return primes;
}

{{ select(6) }}

• 因为 $2 * i$ 一定不是合数
• $i * i$ 一定是质数
• 小于 $i * i$ 的 $i$ 的倍数已被更小质因子筛过
• 这样可以把时间复杂度降为 $O(n)$

7. 下面程序的运行结果为（）。

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
    int cnt = 1;
    int last = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] - last >= dist) {
            cnt++;
            last = a[i];
        }
    }
    return cnt >= k;
}
int solve(int n, int a[], int k) {
    std::sort(a, a + n);
    int l = 0;
    int r = a[n - 1] - a[0];
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(n, a, k, mid))
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}
int main() {
    int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
    int n = 5;
    int k = 3;
    std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
    return 0;
}

{{ select(7) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

8. 在升序数组中查找第一个大于等于 $x$ 的位置，下面循环中横线应填（）。

int lowerBound(const vector<int>& a, int x){
    int l=0, r=a.size();
    while(l < r){
        int mid = l + (r - l)/2;
        if(a[mid] >= x) ______;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

{{ select(8) }}

•  r = mid;
  

•  r = mid - 1;
  

•  l = mid;
  

•  l = mid + 1;
  

9. 关于递归函数调用，下列说法错误的是（）。

{{ select(9) }}

• 递归调用层次过深时，可能会耗尽栈空间导致栈溢出
• 尾递归函数可以通过编译器优化来避免栈溢出
• 所有递归函数都可以通过循环结构来改写，从而避免栈溢出
• 栈溢出发生时，程序会抛出异常并可以继续执行后续代码

10. 给定 $n$ 根木头，第 $i$ 根长度为 $a[i]$ 。要切成不少于 $m$ 段等长木段，求最大可能长度，则横线上应填写（）。

const int MAXN = 100005;
long long a[MAXN];
int n, m;
bool check(long long x){
    long long cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(x == 0) return true;
        cnt += a[i] / x;
        if(cnt >= m) return true;
    }
    return false;
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    long long mx = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
        mx = max(mx, a[i]);
    }
    long long l = 1, r = mx;
    long long ans = 0;
    while(l <= r){
        long long mid = l + (r - l) / 2;
        if(check(mid)){
            ans = mid;
            _____;
        }else{
            _____;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

{{ select(10) }}

•  l = mid + 1;
   r = mid - 1;
  

•  l = mid - 1;
   r = mid + 1;
  

•  l = mid + 1;
   r = mid;
  

•  l = mid;
   r = mid + 1;
  

11. 下面代码用分治求"最大连续子段和"，其时间复杂度为（）。

int solve(vector<int>& a, int l, int r){
    if(l == r) return a[l];
    int mid = l + (r - l) / 2;
    int left = solve(a, l, mid);
    int right = solve(a, mid + 1, r);
    int sum = 0, lmax = INT_MIN;
    for(int i = mid; i >= l; i--){
        sum += a[i];
        lmax = max(lmax, sum);
    }
    sum = 0;
    int rmax = INT_MIN;
    for(int i = mid + 1; i <= r; i++){
        sum += a[i];
        rmax = max(rmax, sum);
    }
    return max({left, right, lmax + rmax});
}

{{ select(11) }}

• $O(n^{2})$
• $O(n \log n)$
• $O(\log n)$
• $O(n)$

12. 游戏大赛决赛，两组选手分别按得分从小到大排好队，现在要把他们合并成一个有序排行榜。$A$ 组：$A=\{12,35,67,89\}$，$B$ 组：$B=\{20,45,55,78\}$ ，下面是归并合并函数的核心循环，横线处应填入（ ）。

int i = 0, j = 0;
vector<int> result;
while (i < A.size() && j < B.size()) {
    if (______) {
        result.push_back(A[i++]);
    } else {
        result.push_back(B[j++]);
    }
}
while (i < A.size()) {
    result.push_back(A[i++]);
}
while (j < B.size()) {
    result.push_back(B[j++]);
}

{{ select(12) }}

• $A[i] \ge B[j]$
• $A[i] \le B[j]$
• $i \ge j$
• $i \le j$

13. 有 $n$ 位同学的成绩已经从小到大排好序，现在对它执行下面这段以第一个元素为 pivot 的快速排序，请问此次排序的时间复杂度是（）。

void quicksort(vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    int pivot = a[l];
    int i = l, j = r;
    while (i < j) {
        while (i < j && a[j] >= pivot) j--;
        while (i < j && a[i] <= pivot) i++;
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    swap(a[l], a[i]);
    quicksort(a, l, i - 1);
    quicksort(a, i + 1, r);
}

{{ select(13) }}

• $O(n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n^{2})$
• $O(\log n)$

14. 下面关于排序算法的描述中，不正确的是（ ）。

{{ select(14) }}

• 冒泡排序和插入排序都是稳定的排序算法
• 快速排序和归并排序都是不稳定的排序算法
• 冒泡排序和插入排序最好时间复杂度均为 $O(n)$
• 归并排序在最好、最坏和平均三种情况的时间复杂度均为 $O(n \log n)$

15. 下面代码实现两个整数除法，其中被除数为一个"大整数"，用字符串表示，除数是一个小整数，用 int 表示，则横线处应该填写（ ）。

int main(){
    string s;
    int b;
    cin >> s >> b;
    vector<int> a;
    for(char c : s){
        a.push_back(c - '0');
    }
    vector<int> c;
    long long rem = 0;
    for(int i = 0; i < a.size(); i++){
        rem = rem * 10 + a[i];
        int q = rem / b;
        c.push_back(q);
        ______
    }
    int pos = 0;
    while(pos < c.size() - 1 && c[pos] == 0) pos++;
    for(int i = pos; i < c.size(); i++){
        cout << c[i];
    }
    cout << endl;
    cout << rem << endl;
    return 0;
}

{{ select(15) }}

•  rem /= b;
  

•  rem %= b;
  

•  rem = b;
  

•  rem = q;
  

16. 有一个存储了 $n$ 个整数的线性表，分别用数组和单链表两种方式实现。在已知下标（或结点指针）的前提下，数组的随机访问是 $O(1)$ ，而在链表中已知某结点的指针时，在该结点之后插入一个新结点的操作也是 $O(1)$ 。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 若数组 $a$ 已按升序排列，则下面代码可以正确实现"在 $a$ 中查找第一个大于等于 $x$ 的元素的位置"。

int lowerBound(vector<int>& a,int x){
    int l=0, r=a.size();
    while(l < r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if( a[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 快速排序只要每次都选取中间元素作为枢轴，就一定是稳定排序。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

19. 若某算法满足递推式：$T(n)=2 T(n / 2)+O(n)$ ，则其时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

20. 在一个数组中，如果两个元素 $a[i]$ 和 $a[j]$ 满足 $i<j$ 且 $a[i]>a[j]$ ，则 $a[i]$ 和 $a[j]$ 是一个逆序对。下面代码可以正确统计数组 $a$ 区间 $[l，r]$ 内的逆序对总数。

long long cnt=0;
void merge_count(vector<int>& a, int l, int m, int r){
    int i = l, j = m + 1;
    while(i <= m && j <= r) {
        if(a[i] <= a[j]) i++;
        else {
            cnt += (m - i + 1);
            j++;
        }
    }
}

{{ select(20) }}

• 正确
• 错误

21. 根据唯一分解定理，如果大于 1 的整数不能被任何不超过其平方根的质数整除，那么 $n$ 必定是质数。

{{ select(21) }}

• 正确
• 错误

22. 假设数组 $a$ 的值域范围是 $D$ ，以下程序的时间复杂度是 $O(n \log n+n \log D)$ 。

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
    int cnt = 1;
    int last = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] - last >= dist) {
            cnt++;
            last = a[i];
        }
    }
    return cnt >= k;
}
int solve(int n, int a[], int k) {
    std::sort(a, a + n);
    int l = 0;
    int r = a[n - 1] - a[0];
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(n, a, k, mid))
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}
int main() {
    int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
    int n = 5;
    int k = 3;
    std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
    return 0;
}

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. 若一个问题满足最优子结构性质，则一定可以用贪心算法得到最优解。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24. 线性筛相比埃氏筛的核心改进在于：埃氏筛中一个合数可能被多个质数重复标记，线性筛通过"每个合数只被其最大质因子筛去"的策略，保证每个合数恰好被标记一次，从而实现 $O(n)$ 的时间复杂度。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

25. 任何递归程序都可以改写为等价的非递归程序，但改写后的非递归程序一定需要显式地使用栈来模拟递归调用过程。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误