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一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 下列 C++ 数据类型中，能够精确存储 $10^{18}+1$ 这个整数的是（ ）。

{{ select(1) }}

• float
• long long
• double
• int

2. 十六进制数 $2F5$ 转换为八进制数是（ ）。

{{ select(2) }}

• $1364$
• $1635$
• $1405$
• $1365$

3. 执行下列 C++ 代码，输出是（ ）。

int a = 7, b = 3;
std::cout << a / b * b + a % b;

{{ select(3) }}

• $9$
• $10$
• $7$
• $6$

4. 初始时栈为空，将 $1、2、3、4$ 依次入栈，入栈过程中允许随时出栈。下列出栈序列中不可能出现的是（ ）。

{{ select(4) }}

• $2，4，3，1$
• $1，2，3，4$
• $3，1，2，4$
• $1，4，3，2$

5. 一棵有 $100$ 个结点的完全二叉树，其中叶子结点个数是（ ）。

{{ select(5) }}

• $49$
• $50$
• $64$
• $51$

6. 执行下列代码后 s 的值是（ ）。

int s = 0;
for (int i = 1; i <= 100; i++)
    if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0)
        s += i;

{{ select(6) }}

• $3048$
• $2733$
• $2318$
• $2418$

7. 上楼梯每步可上 $1$ 级、$2$ 级或 $3$ 级，从地面（可视为第 $0$ 级）走到第 $8$ 级台阶共有多少种不同走法（ ）。

{{ select(7) }}

• $44$
• $121$
• $149$
• $81$

8. 下图为 $5\times 5$ 网格，行号、列号均从 $0$ 开始，# 为障碍，. 为可通行格：

S..#.
...#.
...#.
##..E
...#.

从 S 出发做广度优先搜索（BFS）：初始时把 S 入队；每次取出队首格子，按“上、下、左、右”（上＝行号减 $1$，下＝行号加 $1$，左＝列号减 $1$，右＝列号加 $1$）的顺序遍历它的四个相邻格子，越界、障碍或已访问的格子跳过，其余格子标记为已访问并入队。当 E 第一次入队时，已经入队过的格子（含 S 和 E）共有多少个（ ）。

{{ select(8) }}

• $15$
• $12$
• $14$
• $13$

9. 满足 $1\le n\le 100$ 且 $\gcd(n,60)=6$ 的正整数 $n$ 共有多少个（ ）。

{{ select(9) }}

• $8$
• $6$
• $4$
• $5$

10. 某国硬币面值为 $1$ 元、$4$ 元、$6$ 元且数量不限，凑出 $9$ 元最少需要多少枚（ ）。

{{ select(10) }}

• $3$
• $4$
• $5$
• $2$

11. 执行下列代码，输出是（ ）。

int a[5] = {1, 3, 5, 7, 9};
int *p = a + 2;
*(p - 1) = p[0] + p[2];
p[1] = *(a + 1) - a[0];
cout << a[1] << "," << a[3];

{{ select(11) }}

• 14,13
• 8,13
• 14,7
• 14,2

12. 在含 $1000$ 个互不相同元素的升序数组中，用二分法查找给定值（返回元素位置或报告不存在），最坏情况下需要与数组元素比较多少次（ ）。

{{ select(12) }}

• $500$
• $9$
• $11$
• $10$

13. 数组 $a[1..n]$ 的前缀和数组 $s$（即 $s[i]=a[1]+a[2]+\cdots+a[i]$）满足 $s[i]=3i^2+i$。则 $a[10]$ 的值是（ ）。

{{ select(13) }}

• $252$
• $310$
• $58$
• $61$

14. 数轴上有 $7$ 个点，坐标分别为 $1、3、4、7、10、15、20$。在数轴上选取一个整数坐标点 $P$，使 $P$ 到这 $7$ 个点的距离之和最小，这个最小距离和是（ ）。

{{ select(14) }}

• $37$
• $42$
• $40$
• $38$

15. 一个无向图有 $10$ 个顶点，其中 $4$ 个顶点的度为 $3$，其余顶点的度均为 $4$，则该图的边数是（ ）。

{{ select(15) }}

• $36$
• $18$
• $17$
• $20$

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

（1）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int x = 1, y = 1;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 0) {
            ++x;
        } else {
            ++x;
            ++y;
        }
        n = n / 2;
    }
    cout << x << ' ' << y << endl;
    return 0;
}

以下问题均假定输入的 $n$ 为不超过 $2^{31}-1$ 的非负整数。

判断题

16.（1 分）当输入为 $3$ 时，程序输出为 3 3。（ ）

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 将第 11 行的 ++x; 删除后，程序输出的两个数一定相等。（ ）

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 假设输入为非负整数，则程序输出的第一个数一定不小于第二个数。（ ）

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

单选题

19. 将第 7 行的 while (n > 0) 改为 while (n >= 0) 后，程序可能出现的问题是（ ）。

{{ select(19) }}

• 陷入死循环
• 输出结果比原来大
• 输出结果比原来小
• 输出结果不受影响

20. 当输入为 $6$ 时，输出为（ ）。

{{ select(20) }}

• 3 3
• 4 2
• 4 3
• 5 2

21. 若输入 $n$ 依次取遍 $0,1,2,\ldots,2^{31}-1$ 中的所有整数，则程序输出的第二个数恰好为 $2$ 的次数为（ ）。

{{ select(21) }}

• $16$
• $30$
• $31$
• $32$

（2）

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int a[100007], b[100007], c[100007], carry[100007];
string input_str;
int a_len, b_len;

int main() {
    cin >> input_str;
    a_len = input_str.size();
    for (int i = 0; i < a_len; i++) {
        a[i] = input_str[a_len - i - 1] - '0';
    }
    cin >> input_str;
    b_len = input_str.size();
    for (int i = 0; i < b_len; i++) {
        b[i] = input_str[b_len - i - 1] - '0';
    }
    carry[0] = 0;
    for (int i = 0; i < max(a_len, b_len) + 1; i++) {
        c[i] = a[i] + b[i] + carry[i];
        if (c[i] >= 10) {
            carry[i + 1] = 1;
            c[i] -= 10;
        } else {
            carry[i + 1] = 0;
        }
    }
    for (int i = max(a_len, b_len); i >= 0; i--) {
        cout << c[i];
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

本题输入的两个数均为非负整数，位数不超过 $100000$，可能包含前导零。

判断题

22. 当输入为 123 456 时，程序输出为 0579。（ ）

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. 假设输入的两个数均不含前导零，则程序输出的结果也一定不会含有前导零。（ ）

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24. 将第 21 行改为 c[i] = a[i] + b[i]; 后，程序输出的结果一定比原来的结果小。（ ）

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

单选题

25. 当输入为 12345 678 时，输出为（ ）。

{{ select(25) }}

• 012923
• 013023
• 13023
• 130230

26. 将第 22 行的 if (c[i] >= 10) 改为 if (c[i] > 10) 后，当输入为 95 15 时，输出为（ ）。

{{ select(26) }}

• 01010
• 110
• 140
• 1410

27. 假设输入的两个数均为 $n$ 位正整数（不含前导零），且它们的和小于 $10^n$，则程序输出的字符串一定满足（ ）。

{{ select(27) }}

• 第一个字符一定不为 '0'
• 长度一定为 $n$
• 长度一定为 $n+1$，且第一个字符为 '0'
• 长度可能为 $n+2$

（3）

#include <iostream>
using namespace std;

bool check_prime(int x) {
    if (x <= 1) return false;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int n;

void search_result(int x) {
    if (!check_prime(x)) return;
    if (x >= n) {
        cout << x << endl;
        return;
    }
    for (int i = 0; i <= 9; i++) {
        search_result(x * 10 + i);
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= 9; i++) search_result(i);
    return 0;
}

判断题

28. 当输入为 $10$ 时，程序的输出共有 $10$ 行。（ ）

{{ select(28) }}

• 正确
• 错误

29. 若输入的 $n$ 不大于 $5$，则程序的输出中一定包含 $5$。（ ）

{{ select(29) }}

• 正确
• 错误

30. 若输入的 $n$ 大于 $10$，将第 17 行的 for (int i = 0; i <= 9; i++) 改为 for (int i = 1; i <= 9; i += 2) 后，程序的输出结果一定不变。（ ）

{{ select(30) }}

• 正确
• 错误

单选题

31. 当输入为 $24$ 时，程序输出的第 $3$ 行为（ ）。

{{ select(31) }}

• $23$
• $29$
• $31$
• $239$

32. 下列关于该程序输出的说法中，正确的是（ ）。

{{ select(32) }}

• 输出的数一定按照从小到大的顺序排列
• 随着输入 $n$ 的增大，输出的行数一定不会增加
• 输出的数的个位数字只可能是 $3$ 或 $7$
• 输出的每个大于等于 $10$ 的数，十进制下删去它的末位数字后得到的数一定是质数

33. 当输入为 $200$ 时，程序输出的行数为（ ）。

{{ select(33) }}

• $12$
• $13$
• $14$
• $15$

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

（1）进制减半

给定 $n,m$，再给定一个 $mn$ 进制下的数 $A$，其各个数位上的数按照从高位到低位的顺序给出，请你将其转化为 $n$ 进制，并同样按照从高位到低位的顺序输出。

输入的第一行依次为 $n、m$ 和 $A$ 的位数 $d$，接下来 $d$ 个数 $a_d,a_{d-1},\ldots,a_1$ 从高位到低位描述各个数位上的数。

数据满足 $2\le n,m\le 10$，$1\le d\le 18$，$0\le A<2^{63}$；对于所有 $1\le i\le d$，$0\le a_i<mn$。

以下程序按“逐位除以 $n$”的方法完成进制转换。请补全程序。

#include <iostream>

constexpr int N = 100005;
long long b[N];

int main() {
    long long n, m, d;
    std::cin >> n >> m >> d;
    int len = 1;
    for (int i = 0; i < d; i++) {
        long long x;
        std::cin >> x;
        for (int j = len; j >= 1; j--)
            b[j] = ①;
        b[0] = ②;
        len++;
        for (int j = 0; j < len; j++)
            if (b[j] >= n) {
                b[j + 1] += ③;
                b[j] = ④;
                if (j + 1 == len) len++;
            }
    }
    while (⑤) len--;
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
        std::cout << b[i] << ' ';
    return 0;
}

34. ①处应填（ ）。

{{ select(34) }}

• b[j] * n
• b[j] * m
• b[j - 1] * n
• b[j - 1] * m

35. ②处应填（ ）。

{{ select(35) }}

• x * n
• x
• 0
• m

36. ③处应填（ ）。

{{ select(36) }}

• b[j] / m
• b[j] % n
• b[j] % m
• b[j] / n

37. ④处应填（ ）。

{{ select(37) }}

• b[j] / m
• b[j] % n
• b[j] % m
• b[j] / n

38. ⑤处应填（ ）。

{{ select(38) }}

• len > 0 && b[len - 1] == 0
• len > 0 && b[0] == 0
• len > 1 && b[len - 1] == 0
• len > 1 && b[0] == 0

（2）平衡分割

给定一个长度为 $n$ 的字符串，其中每个字符都是一个十六进制数位。例如，字符串 016A 表示十进制下的四个数 $0、1、6、10$。

现在请选择 $k$ 个（$k$ 是你选定的数）切分位置 $p_1,p_2,\ldots,p_k$，其中 $1\le k<n$，且 $1\le p_1<p_2<\cdots<p_k<n$。再令 $p_0=0$，$p_{k+1}=n$。

对于每个 $0\le i\le k$，计算第 $p_i+1$ 个数到第 $p_{i+1}$ 个数的平均值，记作 $b_i$。你的目标是使 $b_0,b_1,\ldots,b_k$ 中最大值与最小值之差尽可能小，并输出这个最小值。

其中 $2\le n\le 20$。输入字符串中的字符只可能是 0～9 或 A～F。本题假定字符采用 ASCII 编码。输出答案时保留小数点后 $6$ 位。

以下程序通过递归枚举所有可能的连续分段方案。请补全程序。

#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <iostream>

using namespace std;

constexpr int N = 25;
int n;
char s[N];
double ans = 1e100;

int get_val(char c) { return ①; }

void split(int l, int cnt, double minb, double maxb) {
    if (l > n) {
        if (cnt == 0) return;
        ans = min(ans, maxb - minb);
        return;
    }
    int sum = 0;
    for (②) {
        sum += ③;
        double nwb = ④;
        split(⑤);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> s + 1;
    split(1, -1, 1e100, -1e100);
    cout << fixed << setprecision(6) << ans;
    return 0;
}

39. ①处应填（ ）。

{{ select(39) }}

• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A' + 10
• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A'
• c <= '9' ? c - '0' + 1 : c - 'A' + 10
• c <= '9' ? c - '0' : c - 'A' + 9

40. ②处应填（ ）。

{{ select(40) }}

• int r = l; r <= n; r++
• int r = l; r < n; r++
• int r = 1; r <= n; r++
• int r = l; r++ < n

41. ③处应填（ ）。

{{ select(41) }}

• get_val(s[r])
• get_val(s[r - 1])
• s[r - 1]
• s[r]

42. ④处应填（ ）。

{{ select(42) }}

• sum / (r - l + 1)
• 1.0 * sum / (r - l + 1)
• 1.0 * sum / (r - l)
• sum * 1.0 / n

43. ⑤处应填（ ）。

{{ select(43) }}

• r + 1, cnt + 1, min(minb, nwb), max(maxb, nwb)
• r, cnt + 1, minb, maxb
• r + 1, cnt, nwb, nwb
• r, cnt, min(minb, nwb), max(maxb, nwb)